The world in 2^(1024 x 768 x 24) grains of sand

Το παρόν κείμενο είναι μια απλή άσκηση σε ανώφελες σκέψεις. Δεν παύει γι’ αυτό να είναι ακριβές (ίσως και ελαφρώς διδακτικό). Μιλάει για ένα απίστευτο πανόραμα που είναι κρυμμένο στην απλούστερη κρυψώνα, και παρόλα αυτά απρόσιτο. Κυρίως όμως, θέλω να πιστεύω, έχει πλάκα. Αλλά ας ξεκινήσουμε από την αρχή.
 
Δυαδικό και δεκαδικό σύστημα
 
Όπως είναι γνωστο, το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε καθημερινά είναι το δεκαδικό. Τι σημαίνει θεωρητικά αυτό; Στην ουσία του, είναι απλούστατο. Σημαίνει πως όταν γράφουμε έναν αριθμό, πχ. 2564, αυτός αντιπροσωπεύει το άθροισμα:



Δηλαδή κάθε ψηφίο από τα δεξιά προς τα αριστερά μας δείχνει πόσες φορές συνεισφέρει η συγκεκριμένη δύναμη του 10 στον αριθμό, ξεκινώντας από την μηδενική δύναμη του 10 (10⁰ = 1) για το πρώτο ψηφίο και ανεβαίνοντας (θυμίζω πως οι δυνάμεις του 10 είναι: 1, 10, 100, 1000, 10000, κ.ο.κ).

Ξέρουμε επίσης ότι οι υπολογιστές χρησιμοποιούν το δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Αυτό βασίζεται στην ίδια αρχή με το δεκαδικό, μόνο που χρησιμοποιεί δυνάμεις του 2 αντί για δυνάμεις του 10. (Οι δυνάμεις του 2 πάνε ως εξής: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., κ.ο.κ). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να χρειάζεται μόνο δυο ψηφία, το 0 και το 1 για να σχηματίσει οποιοδήποτε αριθμό. Για παράδειγμα ο αριθμός 34 στο δεκαδικό είναι:


 
Ενώ ως δυνάμεις του δυο μπορεί να εκφραστεί ως:


 
Δηλαδή: 100010.

Τα δυο συστήματα αρίθμησης είναι απολύτως ισοδύναμα, η μόνη διαφορά είναι στο πως εκφράζουμε κάθε αριθμό. Το όνομά τους το παίρνουν από τον αριθμό εκείνο με βάση τις δυνάμεις του οποίου εκφράζουμε όλους τους άλλους. Ο αριθμός αυτός λέγεται βάση του αριθμητικού συστήματος. Έτσι, το δεκαδικό σύστημα έχει ως βάση το 10.

Από οσα είπαμε προηγουμενως είναι φανερό ότι στο δεκαδικό σύστημα με 1 ψηφίο μπορούμε να περιγραψουμε 10 διαφορετικά νούμερα (0, 1, 2, 3, ..., 9). Στο δυαδικό, μόνο δυο (0, 1).

Αντίστοιχα, στο δεκαδικό με 2 ψηφία μπορούμε να περιγράψουμε 10² (δηλαδή 100) διαφορετικά νούμερα: από το 0 ως το 99. Στο δυαδικό με δυο ψηφίά περιγράφουμε 4 διαφορετικα νούμερα:  0, 1, 10, 11 (δηλαδή τα νούμερα 0, 1, 2, 3).

Γενικά ισχύει το εξής: σε ενα σύστημα με βάση Β, με Ν ψηφία μπορούμε να περιγράψουμε Β^Ννούμερα.
 
Ψηφιδωτές Εικόνες

Έχετε πλησιάσει ποτέ με μεγενθυντικό φακό την οθόνη του υπολογιστή σας; Αν ναί, θα έχετε δεί ότι αυτά που εμείς βλέπουμε ως ολοκληρωμένες εικόνες, γραμμές, κύκλοι κλπ. στην πραγματικότητα απαρτίζονται από μικρά τετραγωνάκια διαφορετικών χρωμάτων. Ουσιαστικά, η οθόνη του υπολογιστή είναι όπως ένα ψηφιδωτό, μόνο που τα “πετραδάκια” (τα οποία στην ορολογία των υπολογιστών λέγονται pixels) είναι πολύ μικρά για να τα δούμε με γυμνό μάτι. Πόσα τετραγωνάκια  απαρτίζουν μια οθόνη; Αυτό εξαρτάται από την ανάλυση της. Η ανάλυση μας λέει σε πόσα ορίζόντια και κάθετα τετραγωνάκια  χωρίζεται μια οθόνη.
 
Ορίστε ένα παράδειγμα:


 
Έχουμε εδώ μια οθόνη ανάλυσης 10x10, η οποία απαρτίζεται από 100 τετράγωνα (pixels). Αντίστοιχα, μια ανάλυση 1024 x 768 (συνηθισμένη στους σημερινούς υπολογιστές) σημαίνει ότι η οθόνη χωρίζεται σε  786432 τετραγωνάκια.
 
Ψηφιακές φωτογραφίες
 
Είπαμε πως σχηματίζει εικόνες μια οθόνη: βάφοντας κατάλληλα καθεμία από τις πολλές ψηφίδες (pixels) της.

Πως όμως αποθηκεύονται αυτές οι εικόνες στον υπολογιστή μας; Είναι απλό. Ο υπολογιστής αποθηκεύει ένα νούμερο για κάθε ψηφίδα της εικόνας, το οποίο αντιστοχεί στο χρώμα της. Πχ. αν είχαμε μια ασπρόμαυρη φωτογραφία 2 x 2 (ναι, μια πολύ μικρή), θα αρκούσαν 4 τέτοια νούμερα. Ακόμη, κάθε νούμερο αρκεί να είναι 0 (μαύρο) ή ένα (άσπρο).



Έτσι, η παραπάνω εικόνα θα μπορούσε να αποθηκευθεί ως: 0-1-1-1, αν διαβάσουμε κάθε σειρά ξεκινώντας από πάνω αριστερά (όπως διαβάζουμε τα καρέ ενός κόμικ). Δηλαδή 1=0, 2=1, 3=1 και 4=1.


   
Έτσι ορίζεται λοιπόν μια ασπρόμαυρη εικόνα μεγέθους 2 x 2 τετραγωνάκια. Πόσες διαφορετικές τέτοιες εικόνες μπορούν να υπάρξουν άραγε; Ίσως σας φαίνεται δύσκολο ερώτημα. Ας ξεκινήσουμε από πιο απλά. Πόσες ασπρόμαυρες εικόνες αποτελούμενες από ένα μόνο τετραγωνάκι μπορούν να υπάρξουν; Προφανώς μονάχα δυο: μία όπου το μοναδικό τετραγωνάκι είναι άσπρο και μια όπου είναι μαύρο. Πόσες ασπρόμαυρες εικόνες αποτελούμενες από δυο (2) τετραγωνάκια μπορούν να υπάρξουν; Μόνο τέσσερις:
 

1. 1. Και τα δύο μαύρα


2. 2. Και τα δυο άσπρα


3. 3. Το αριστερο άσπρο, το δεξί μαύρο


4. 4. Το δεξί μαύρο, το αριστερό μαύρο

 
Βλέπετε την λογική: υπάρχουν τόσες εικόνες, όσοι είναι οι δυνατοί συνδιασμοί των διαθέσιμων χρωμάτων με τα διαθέσιμα τετράγωνα. Υπάρχει λοιπόν ένας απλό μαθηματικός τύπος που μας δίνει αυτούς τους συνδιασμούς. Οι δυνατές διαφορετικες εικόνες για Ν τετραγωνάκια όταν έχουμε όσα χρώματα περιγράφονται από Κ δυαδικα ψηφία στην διάθεση μας είναι:


 
Δυο χρώματα (άσπρο / μαύρο) απαιτούν 1 δυαδικό ψηφίο για να περιγραφούν (άν το ψηφίο αυτό είναι 0 βάζουμε μαύρο, αν είναι 1 βάζουμε άσπρο). Έτσι για τέσσερα τετραγωνάκια με 2 χρώματα έχουμε: 2 ^{4 x 1} = 16 διαφορετικές εικόνες.

Αν κάποιος μας πεί τις τιμές του κάθε τετραγώνου μπορούμε να σχεδιάσουμε όποια θέλουμε από αυτές τις εικόνες. Πχ. αν σας πω 0000, σχεδιάζετε μια εικόνα που είναι όλη μαύρη. Αν σας πω 1111 μια ολόλευκη εικόνα. Αν σας πω 1000, σχεδιάζετε μια εικόνα όπου μόνο το πάνω αριστερά τετραγωνάκι είναι λευκό.

Ουσιαστικά δεν αρκεί παρά να σας πω ένα νούμερο, από το 0 (0000) ως το 16 (1111) για να σας περιγράψω την αντίστοιχη 2x2 ασπρόμαυρη εικόνα. Ακριβώς: μια εικόνα στον υπολογιστή δεν είναι στην ουσία της παρά ένας αριθμός γραμμένο στο δυαδικό σύστημα. Ο υπολογιστής διαβάζει το πλήρες νούμερο (πχ. 1101), το χωρίζει σε ένα “υπό-νούμερο” για κάθε τετράγωνο (πχ. 1 - 1 - 0 - 1) και στέλνει εντολή στην οθόνη να δείξει σε κάθε τετραγωνάκι της το χρώμα που αντοιστοιχεί στο αντίστοιχο του υπο-νούμερο.

Βάλτε χρώμα στη ζωή σας
 
Για πολύχρωμες εικόνες αρκεί η ίδια ακριβώς μέθοδος. Μόνο που τώρα δεν μας φθάνουν μόνο δυο νούμερα 0=μαύρο, 1=άσπρο. Χρειαζόμαστε τόσα νούμερα όσα και χρώματα.

Οι συνηθισμένες εικόνες που βλέπουμε στον υπολογιστή συνήθως έχουν πληροφορία 24 bit για το χρώμα κάθε τετραγωνακίου. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε διαθέσιμα τόσα χρώματα όσα νούμερα μπορούμε να περιγράψουμε στο δυαδικό με 24 ψηφία.

Στο δυαδικό με 24 ψηφία μπορούμε να περιγράψουμε 2²⁴ διαφορετικα νούμερα. Επομένως έχουμε στην διαθεσή μας 16.777.216 χρώματα. Με βάση τα παραπάνω, πόσες διαφορετικές εικόνες 1024 x 768 μπορούν να υπάρξουν με διαθέσιμα 16.777.216 χρώματα; Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο βλέπουμε πως είναι 2^{1024 x 768 x 24} εικόνες.  (Θα έγραφα το πλήρες νούμερο αλλά δεν φτάνει ο χώρος για να γραφτούν όλα τα ψηφία του).

Έχετε ψηφιακή φωτογραφική μηχανή; Ας υποθέσουμε ότι φωτογραφίζατε σε αυτή την ανάλυση (είναι σχεδόν 1 megapixel). Πόσες διαφορετικές φωτογραφίες θα μπορούσατε να πάρετε; Είπαμε: 2^{1024 x 768 x 24}

Όλες οι δυνατές εικόνες αυτού του μεγέθους περιλαμβάνουν όλες τις φωτογραφίες που έχετε βγάλει. Αλλά όχι μόνο. Περιέχουν επίσης όλες τις φωτογραφίες που έχει βγάλει οποιοσδήποτε. Όλες τις φωτογραφίες οποιασδήποτε γωνιάς του σύμπαντος από οποιαδήποτε γωνία από την αρχή του χρόνου ώς το τέλος του. Όλες τις φωτογραφίες που θα μπορούσαν να υπάρξουν αν η ιστορία είχε άλλη εξέλιξη (πχ. φωτογραφίες των ναζί να παρελαύουν στο Λος Άντζελες). Φωτογραφίες όλων των πιθανών κειμένων που μπορούν να γραφτούν και όσων έχουν γραφτεί ή θα γραφτούν. Φωτογραφίες όλων των έργων ζωγραφικής που υπήρξαν, θα υπάρχουν ή θα μπορούσαν να υπάρξουν. Το καρέ κάθε ταινίας που γυρίστηκε. Τα καρέ μιας ταινίας που δείχνουν τον Σωκράτη να πίνει το κώνιο (ακριβώς όπως θα ήταν αν υπήρχε τηλεοπτικό συνεργείο εκεί γύρω τότε). Εκκατομύρια παραλλαγές της προηγούμενης ταινίας από κάθε οπτική γωνία, με κάθε είδους εφέ, με τον Πήτερ Σέλλερς ως Σωκράτη, με εσάς ως Πλάτωνα κ.ο.κ. Κάθε στιγμή της ζωής σου φωτογραφημένη από κάθε δυνατή οπτική γωνία (το ίδιο και όλων τον προγόνων και των απογόνων σου). Ο Μέγας Αλέξανδρος αγκαλιά με τον Ναπολέοντα να χορεύουν σάμπα πάνω σε ένα άρμα στη Βραζιλία. Μικρα πράσινα ανθρωπάκια να κτίζουν πυραμίδα στην κορφή του Έβερεστ. Εν ολίγοις, ό,τι μπορεί να υπάρξει ως εικόνα. Το απόλυτο μαύρο (η εικόνα που αντιστοιχεί στο 0) ως το απόλυτο λευκό (η εικόνα που αντιστοιχεί στο 2^{1024 x 768 x 24}) και ο,τιδήποτε ενδιάμεσα.

Μπορούμε να γράψουμε ένα πρόγραμμα υπολογιστή που να δημιουργήσει όλες αυτές τις φωτογραφίες. Αυτό που θα έχει να κάνει δεν είναι παρά να ξεκινήσει να μετράει από το 0 ως το 2^{1024 x 768 x 24}. και να σώσει το κάθε νούμερο με μορφή εικόνας. Θα είχαμε τότε στην διάθεση μας όλες αυτές τις εικόνες. Το μόνο πρόβλημα είναι πως με τους σημερινούς υπολογιστές αλλά και με ό,τι μελλοντικό μπορούμε να φανταστούμε, θα πάρει απίστευτα πολύ χρόνο (αν θέλουμε μάλιστα να αποθηκεύσουμε τις φωτογραφίες, θα πάρει επίσης απίστευτα πολύ χώρο).

Όλες αυτές οι εικόνες λοιπόν, ό,τι μπορεί να περιγραφεί ως εικόνα συγκεκριμένων διαστάσεων, και εμείς δεν μπορούμε να τις δούμε ποτέ όλες. Μπορούμε μήπως να κλέψουμε; Περίπου. Αν και δεν μπορούμε να δούμε όλες τις δυνατές φωτογραφίες, μπορούμε να δούμε μια εκάστοτε τυχαία από αυτές. Μπορούμε εύκολα να γράψουμε ένα πρόγραμμα υπολογιστή να παράξει μια από όλες.

Υπάρχει όμως ένα πρόβλημα. Καθώς οι δυνατές φωτογραφίες είναι απίστευτα πολλές (είπαμε είναι 2^{1024 x 768 x 24}), είναι τρομερά απίθανο να δημιουργήσουμε τυχαία μια που να απεικονίζει νόημα για εμάς (πχ. μια εικόνα του πίνακα του Βαν Γκόνγκ “Έναστρη Νύχτα”). Γιατί; Απλούστατα επειδή οι εικόνες με νόημα είναι πολύ λιγότερες από αυτές χωρίς νόημα. (Φανταστείτε ότι ρίχνουμε ένα ζάρι 5 φορές. Είναι πολύ πιθανότερο να έρθει μια τυχαία σειρά αριθμών παρά μια σειρά που έχει νόημα για εμάς: 1,2,3,4,5 ή 5,4,3,2,1 ή 1,1,1,1,1,1 κ.λ.π. Μπορούμε να σκεφτούμε αρκετές σειρές με κάποια κανονικότητα, αλλά οι απλά τυχαίες σειρές είναι περισσότερες. Συνολικά, οι πιθανές σειρές είναι 46.656).

Να ένα παράδειγμα τυχαία παραγώμενης εικόνας:


 
Ή, ζουμάροντας στα pixels:



Η αιωνιότητα διαρκεί περισσότερο  

Ο Μπόρχες, στο διήγημα του “Η Βιβλιοθήκη της Βαβέλ” περιγράφει μια αντίστοιχη κατάσταση, με τη μόνη διαφορά ότι εκεί μιλάει για βιβλία. Στο διήγημα του, οι συνδιασμοί αφορούν όλα τα δυνατά βιβλία (ενός ορισμένου αριθμού σελίδων) που μπορούν να παραχθούν. Στο διήγημα, το σύμπαν είναι μια τεράστια βιβλιοθήκη με όλα τα πιθανά βιβλία στα ράφια της και απέραντους διαδρόμους. Οι κάτοικοι-βιβλιοθηκάριοι προσπαθούν να αντλήσουν πληροφορίες για το νόημα της ζωής τους και του κόσμου μελετώντας (εις μάτην) τα βιβλία της βιβλιοθήκης.

(Σημειώστε, πως κάθε τέτοιο βιβλίο μπορεί επίσης να κωδικοποιηθεί ως ένα νούμερο. Συγκεκριμένα, η πληροφορία που μπορεί να περιέχει κάθε βιβλίο είναι ο αριθμός των χαρακτήρων που το αποτελούν επί το πόσα ψηφία θέλουμε για να αποθηκεύσουμε κάθε χαρακτήρα. Αν υποθέσουμε ότι τα βιβλία είναι γραμμένα με τους αγγλικούς χαρακτήρες, συν τα σημεία στίξης και το κενό, τότε έχουμε πχ. 30 χαρακτήρες. Αν κάθε βιβλίο χωράει πχ. 10.000.000 χαρακτήρες, τότε έχουμε 30^10.000.000 δυνατά βιβλία, από το 0 -ένα πλήρως άγραφο βιβλίο- ως το 30^10.000.000 -1. Από άποψη αποθήκευσης της πληροφορίας, εικόνες ή βιβλία είναι το ίδιο πράγμα.)

Το άπειρο είναι το απόλυτο όριο για εμάς. Αλλά και ένας πεπερασμένος αριθμός  όπως 2^{1024 x 768 x 24} , μας είναι εξίσου απρόσιτος. Κάθε εικόνα που είδαμε ή θα δούμε ποτέ θα είναι μια από όλες τις δυνατές εικόνες, δηλαδή ουσιαστικά ένας αριθμός.  Ό,τι είδαμε ποτέ, είναι ουσιαστικά μια ακολουθία αριθμών (περίπου 25 αριθμοί το δευτερόλεπτο, εξαιτίας του μετεικάσματος). Στους υπόλοιπους αριθμούς, που δεν είδαμε, κρύβονται όλες οι ζωές που θα μπορούσαμε να ζήσουμε. Τις περισσότερες δεν θα τις δούμε ποτέ. Ορισμένες θα τις δημιουργήσουμε.